Вы­ра­зим пло­щадь через синус:

Найдём пе­ри­метр ос­но­ва­ния:

Так как S_бок = P_осн · h, то

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: см³.

Вы­ра­зим пло­щадь через синус:

Найдём пе­ри­метр ос­но­ва­ния:

Так как S_бок = P_осн · h, то

Найдём объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: см³.

По фор­му­ле пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной приз­мы где h равна бо­ко­во­му ребру. Тогда для дан­ной приз­мы имеем: Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ответ: в).

По фор­му­ле пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной приз­мы где h равна бо­ко­во­му ребру. Тогда для дан­ной приз­мы имеем: Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Ответ: г).

Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD  — ос­но­ва­ние приз­мы при этом, (см.рис.). Так как в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то Тогда,

  — боль­шая бо­ко­вая грапь приз­мы, а угол равен со­от­вет­ствен­но Из тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем, что

Имеем:

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD  — ос­но­ва­ние приз­мы при этом, Так как в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то Тогда,

  — бо­ко­вая грапь приз­мы, а угол равен со­от­вет­ствен­но Из тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем, что

Имеем:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть AB  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CAA₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BC  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCC₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Пусть диа­го­наль B₁D на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом Тогда тре­уголь­ник B₁BD  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C по­лу­чим:

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Вы­чис­лим объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 4,5 см³.

Рас­смот­рим угол между плос­ко­стя­ми бо­ко­вых гра­ней AA₁B и AA₁D. как сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ков AA₁В₁B и AA₁D₁D со­от­вет­ствен­но. Тогда яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми AA₁B и AA₁D и по усло­вию равен

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Най­дем боль­шую диа­го­наль ромба:

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AA₁C яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как его ги­по­те­ну­за A₁C со­став­ля­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол, рав­ный Тогда

Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 324 см³.

Пря­мая a лежит в плос­ко­сти DD₁C₁, тогда она может пе­ре­се­кать толь­ко грани, ле­жа­щие в этой плос­ко­сти.

Ответ: г.

Пря­мая a лежит в плос­ко­сти DD₁A₁, тогда она может пе­ре­се­кать толь­ко грани, ле­жа­щие в этой плос­ко­сти.

Ответ: в.

Так как все бо­ко­вые грани приз­мы ABCA₁B₁C₁  — квад­ра­ты, то приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мой. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной приз­мы лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, где по усло­вию CK = AM = 3. Из тре­уголь­ни­ка AMB имеем:

По­лу­ча­ем, что AA₁, AB = так как AA₁B₁B  — квад­рат.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MAA₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Так как все бо­ко­вые грани приз­мы ABCA₁B₁C₁  — квад­ра­ты, то приз­ма яв­ля­ет­ся пря­мой. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной приз­мы лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC. Про­ве­дем вы­со­ту AM, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той. Пусть сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны x, тогда Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MAA₁ по усло­вию MA₁  =  7. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BB₁D₁D  — мень­шее диа­го­наль­ное се­че­ние, тогда, так как диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а ис­ход­ный па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мой, BB₁D₁D  — квад­рат. Сле­до­ва­тель­но, бо­ко­вые рёбра па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны корню из 3. За­ме­тим, что пло­щадь боль­ше­го из се­че­ний равна про­из­ве­де­нию боль­шей диа­го­на­ли ос­но­ва­ния на бо­ко­вое ребро, от­ку­да В ос­но­ва­нии па­рал­ле­ло­грам­ма лежит ромб, тогда диа­го­на­ли ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­ны. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра то есть

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна сумме двух пло­ща­дей ос­но­ва­ния и четырёх пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней, в нашем слу­чае:

Ответ: 14.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BB₁D₁D  — мень­шее диа­го­наль­ное се­че­ние, тогда, так как диа­го­наль об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол в 45°, а ис­ход­ный па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мой, BB₁D₁D  — квад­рат. Сле­до­ва­тель­но, бо­ко­вые рёбра па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны корню из 6. За­ме­тим, что пло­щадь боль­ше­го из се­че­ний равна про­из­ве­де­нию боль­шей диа­го­на­ли ос­но­ва­ния на бо­ко­вое ребро, от­ку­да В ос­но­ва­нии па­рал­ле­ло­грам­ма лежит ромб, тогда диа­го­на­ли ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­ны. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра то есть

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна сумме двух пло­ща­дей ос­но­ва­ния и четырёх пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней, в нашем слу­чае:

Ответ: 28.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Сред­няя линия LN па­рал­лель­ная сто­ро­не A₁C₁ ос­но­ва­ния, в ко­то­ром она лежит, а зна­чит, па­рал­лель­на сто­ро­не AC дру­го­го ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — тра­пе­ция. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не той сто­ро­ны, ко­то­рой она па­рал­лель­на, а по­то­му равна 6. Сле­до­ва­тель­но, ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 6 и 12. Оста­лось найти вы­со­ту тра­пе­ции.

Про­ведём B₁M₁  — вы­со­ту ос­но­ва­ния A₁B₁C₁. Вы­чис­лим её длину по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пусть K₁  — точка пе­ре­се­че­ния LN и B₁M₁, тогда M₁K₁  =  4. Из точки M₁ про­ведём вы­со­ту MM₁ приз­мы, со­еди­ним точки K₁ и M, по­лу­чим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MM₁K₁. В нём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Вы­чис­лим ис­ко­мую пло­щадь се­че­ния:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CNC₁ катет NC₁ лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, ги­по­те­ну­за CN в два раза боль­ше этого ка­те­та. То есть равна B₁C₁ в силу того, что MN  — сред­няя линия. За­ме­тим, что от­рез­ки MN, A₁C₁, а зна­чит, и AC па­рал­лель­ны, то есть, се­че­ние  — тра­пе­ция, причём пря­мо­уголь­ная. Тогда пло­щадь се­че­ния, равна

Ответ: 45.

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и AD  =  AB, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ: